Domingo Rivas nació en San José el 8 de febrero de 1836. Estudió en la Universidad de Santo Tomás, obteniendo los grados de Doctor en Derecho Canónico y Licenciado en Derecho Civil, y fue ordenado sacerdote en 1859 en León (Nicaragua).
Ejerció el sacerdocio en San Pedro de Montes de Oca. Estrecho colaborador del I Obispo de San José, Anselmo Llorente y Lafuente, en 1862 fue nombrado Vicario General de la Diócesis de San José y en 1869, Gobernador Eclesiástico con ocasión de la participación de Monseñor Llorente en el Concilio Vaticano I. Canónigo de la Catedral desde 1862 y deán de la misma desde 1871, a raiz del fallecimiento del obispo, fue nombrado Vicario Capitular de la diócesis del 28 de septiembre de 1871 al 5 de enero de 1877.
Fue además rector de la Universidad de Santo Tomás, así como presidente de la asamblea legislativa y miembro del Consejo de Gobierno durante la administración de Jesús Jiménez.
En 1880 fue desterrado a Nicaragua. Falleció en San José el 25 de abril de 1900.